Die exakteste Zahl der Physik: Der Quanten-Hall-Effekt und die Topologie der Materie

Der Aufhänger: Eine Zahl, die auf neun Stellen stimmt

In der Physik gibt es präzise Messungen, und dann gibt es den Quanten-Hall-Effekt.

Nimm einen Halbleiterchip, kühle ihn in flüssiges Helium, schalte ein starkes Magnetfeld ein und schicke einen Strom hindurch. Dann miss die Spannung, die senkrecht zum Strom entsteht, und teile sie durch den Strom. Das Ergebnis ist ein elektrischer Widerstand. Und dieser Widerstand ist nicht ungefähr, nicht annähernd, nicht im Rahmen der Messgenauigkeit, sondern mit einer relativen Unsicherheit von etwa einem Teil in einer Milliarde gleich

$$R_H = \frac{1}{\nu}\cdot\frac{h}{e^2}$$

wobei \(\nu\) eine ganze Zahl ist, \(h\) das Plancksche Wirkungsquantum und \(e\) die Elementarladung. Nichts sonst. Kein Materialparameter. Keine Probendicke. Keine Beweglichkeit der Elektronen. Keine Dotierungskonzentration. Du kannst die Probe aus Silizium bauen oder aus Galliumarsenid oder aus einer einzelnen Lage Kohlenstoffatome, du kannst sie aus einer schlampigen Charge nehmen und ihre Ränder mit einer Pinzette ausreißen – der Wert bleibt derselbe.

Das ist eine absurde Behauptung. Festkörperphysik ist das Fachgebiet der Schmutzeffekte. Reale Kristalle sind voller Fremdatome, Gitterfehler, Verspannungen und thermischer Unordnung; fast jede messbare Größe eines Festkörpers hängt empfindlich davon ab, wie gut die Probe ist. Und doch liefert gerade diese dreckige, unordentliche Welt eine Naturkonstante mit einer Genauigkeit, die mit Atomuhren konkurriert. Seit der Revision des Internationalen Einheitensystems im Mai 2019 ist der Wert sogar exakt festgelegt: Die von-Klitzing-Konstante beträgt \(R_K = h/e^2 = 25\,812{,}807\,459\,304\,5\ldots\ \Omega\), weil \(h\) und \(e\) inzwischen per Definition feste Zahlenwerte haben. Jedes nationale Metrologieinstitut der Welt realisiert daraus heute das Ohm.

Die Frage, die dieser Artikel beantwortet, lautet: Warum funktioniert das? Warum ist eine Messung an einem unvollkommenen Stück Materie so exakt, dass man darauf eine SI-Einheit gründen kann?

Die Antwort ist, in einem Wort: Topologie. Der quantisierte Hall-Widerstand ist nicht die Messung einer Materialeigenschaft, sondern das Abzählen einer ganzen Zahl – einer topologischen Invariante, die sich gar nicht stetig verändern kann, weil ganze Zahlen keine Zwischenwerte haben. Diese Erkenntnis, erarbeitet zwischen 1980 und 1988, hat nicht nur ein Experiment erklärt. Sie hat ein neues Ordnungsprinzip in die Physik der kondensierten Materie eingeführt, drei Nobelpreise hervorgebracht (1985, 1998, 2016), eine ganze Materialklasse namens „topologische Isolatoren" begründet und Teilchen vorhergesagt, die weder Fermionen noch Bosonen sind. Und sie liefert bis heute den vielleicht ernsthaftesten – und bislang umstrittensten – Kandidaten für einen von Natur aus fehlerresistenten Quantencomputer.

Teil 1: Von Edwin Hall zur Quantenstufe

Der klassische Hall-Effekt, 1879

Die Geschichte beginnt hundert Jahre früher, mit einem Doktoranden. Edwin Hall, damals an der Johns Hopkins University, wollte 1879 eine Frage klären, die Maxwell offengelassen hatte: Wirkt ein Magnetfeld auf den Strom selbst oder nur auf den Draht, der ihn trägt? Hall legte ein Magnetfeld senkrecht auf ein dünnes Goldblättchen, durch das ein Strom floss, und fand eine kleine Spannung quer zur Stromrichtung.

Die klassische Erklärung ist in zwei Sätzen erzählt. Die Ladungsträger, die mit einer Driftgeschwindigkeit durch den Leiter wandern, erfahren im Magnetfeld die Lorentzkraft und werden zu einer Seite abgelenkt. Dort stauen sie sich, bis das entstehende elektrische Querfeld die Lorentzkraft genau kompensiert. Die zugehörige Hall-Spannung ist proportional zum Strom und zum Magnetfeld und umgekehrt proportional zur Ladungsträgerdichte. Daraus folgt: Der Hall-Widerstand wächst linear mit dem Magnetfeld.

Das war ein wunderbares Werkzeug. Der Hall-Effekt sagt uns die Dichte der Ladungsträger in einem Material und sogar deren Vorzeichen – so lernte die Physik, dass in manchen Halbleitern die beweglichen Ladungen positiv sind (Löcher). Bis heute steckt in jedem zweiten Drehzahlsensor eine Hall-Sonde. Eine Sensation war der Effekt nach den ersten Jahrzehnten nicht mehr. Er war Lehrbuchstoff, erstes Semester, erledigt.

Die Flachheit als Voraussetzung

Damit aus diesem Lehrbuchstoff eine Revolution werden konnte, brauchte es zwei technische Voraussetzungen, die erst in den 1960er- und 1970er-Jahren verfügbar wurden.

Die erste ist das zweidimensionale Elektronengas (2DEG). In einem Silizium-MOSFET – dem Standardtransistor der Mikroelektronik – sammeln sich die Elektronen an der Grenzfläche zwischen Silizium und Siliziumdioxid in einem so dünnen Kanal, dass ihre Bewegung senkrecht zur Grenzfläche quantenmechanisch eingefroren ist. Es bleibt nur eine Bewegung in der Ebene. Die Elektronen leben, physikalisch gesprochen, in einer Welt mit zwei Raumdimensionen. Später lieferte die Molekularstrahlepitaxie mit Galliumarsenid-Aluminiumgalliumarsenid-Heterostrukturen weit saubere 2DEGs, in denen die Elektronen Hunderte von Mikrometern weit fliegen, ohne gestreut zu werden.

Die zweite Voraussetzung sind tiefe Temperaturen und starke Magnetfelder. Typische Bedingungen für das Standardnormal sind einige Kelvin oder weniger und Flussdichten von 10 bis 20 Tesla – Werte, die nur in speziellen Hochfeldlaboren erreichbar sind.

Landau-Niveaus: Wenn Kreisbahnen quantisiert werden

Was passiert mit einem zweidimensionalen Elektronengas im starken Magnetfeld? Klassisch würden die Elektronen auf Kreisbahnen laufen. Quantenmechanisch sind diese Kreisbahnen nicht beliebig: Ihre Energien bilden eine diskrete Leiter, die Landau-Niveaus, mit Abständen proportional zum Magnetfeld. Das kontinuierliche Energieband des freien zweidimensionalen Elektronengases zerfällt also im Magnetfeld in eine Folge scharfer Energiestufen, zwischen denen es keine Zustände gibt – mit anderen Worten: in Bänder und Lücken, deren Lage man per Magnetfeld verschieben kann.

Jedes Landau-Niveau kann eine bestimmte Zahl von Elektronen aufnehmen, proportional zum Magnetfeld. Das Verhältnis von vorhandenen Elektronen zu verfügbaren Plätzen pro Niveau heißt Füllfaktor \(\nu\). Ist \(\nu\) exakt eine ganze Zahl, so sind genau \(\nu\) Landau-Niveaus vollständig besetzt und alle höheren vollständig leer. Das System ist dann im Inneren ein Isolator: Es gibt keine freien Plätze in der Nähe, in die ein Elektron ausweichen könnte, ohne die Energielücke zu überwinden.

Genau in diesem Zustand geschieht das Wunder.

Die Nacht vom 4. auf den 5. Februar 1980

Klaus von Klitzing arbeitete im Februar 1980 im Hochfeldmagnetlabor in Grenoble an Silizium-MOSFETs, die Gerhard Dorda (Siemens) und Michael Pepper (Plessey/Cambridge) zur Verfügung gestellt hatten. Sein eigentliches Ziel war unspektakulär: Er wollte die Beweglichkeit der Elektronen im Magnetfeld untersuchen.

Was er in den Messkurven fand, war etwas anderes. Der Hall-Widerstand wuchs nicht glatt und linear mit dem Magnetfeld. Er bildete breite, perfekt flache Plateaus, dazwischen steile Übergänge – wie eine Treppe. Und auf den Plateaus, genau dort, verschwand der Längswiderstand praktisch vollständig: Der Strom floss ohne Dissipation. Die Plateauwerte waren nicht irgendwelche Zahlen, sondern Brüche einer universellen Größe mit ganzzahligem Nenner.

Die entscheidende Nachtschicht war die vom 4. auf den 5. Februar 1980. Von Klitzing überzeugte sich, dass die Plateauhöhe nicht von der Probe abhing. Die Veröffentlichung erschien noch im selben Jahr: K. v. Klitzing, G. Dorda und M. Pepper, „New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance", Physical Review Letters 45 (1980), 494–497. Der Titel verrät, worin von Klitzing selbst die Pointe sah: Hier war ein Weg, eine Naturkonstante auf einem Halbleiterchip zu messen. Fünf Jahre später, 1985, erhielt er dafür den Nobelpreis für Physik – allein, für die Entdeckung des quantisierten Hall-Effekts.

Teil 2: Warum die Quantisierung so unfassbar exakt ist

Das eigentliche Rätsel

Dass es Stufen gibt, ist für sich noch nicht völlig überraschend – Landau-Niveaus sind quantisiert, also darf man Strukturen erwarten. Das Rätsel ist die Exaktheit und die Breite der Plateaus.

Exaktheit: Die Plateauhöhe stimmt auf Milliardstel mit \(h/(\nu e^2)\) überein. Kein Festkörpereffekt tut das. In der üblichen Festkörperphysik gilt die Daumenregel, dass eine Theorie froh sein darf, wenn sie Faktoren von zwei trifft.

Breite: Das Plateau ist nicht ein scharfer Punkt bei exakt ganzzahligem Füllfaktor, sondern ein ausgedehnter Bereich des Magnetfelds. Man kann das Feld um Prozente verstimmen, die Elektronendichte ändern, die Temperatur variieren – und der Wert rührt sich nicht.

Am verblüffendsten aber: Die Plateaus werden besser, wenn die Probe schlechter wird. Unordnung – eigentlich der Feind jedes präzisen Festkörperexperiments – ist hier die Voraussetzung für die Robustheit.

Randkanäle: Der Strom fließt am Rand

Ein erster, anschaulicher Teil der Erklärung liegt in der Geometrie. Bei ganzzahligem Füllfaktor ist das Innere der Probe ein Isolator mit Energielücke. Am Rand jedoch biegt das einschließende Potential die Landau-Niveaus nach oben; dort schneiden sie zwangsläufig die Fermi-Energie, und es entstehen leitende Kanäle, die entlang der Probenkante laufen.

Diese Randkanäle haben eine entscheidende Eigenschaft: Sie sind chiral. An einer gegebenen Kante laufen die Elektronen nur in eine Richtung – das Magnetfeld legt den Umlaufsinn fest. Ein Elektron, das gegen ein Störatom stößt, kann nicht zurückgestreut werden, denn ein rückwärtslaufender Zustand existiert an dieser Kante überhaupt nicht. Es müsste quer durch das isolierende Innere zur gegenüberliegenden Kante tunneln. Bei einer makroskopischen Probe ist diese Wahrscheinlichkeit astronomisch klein.

Damit versteht man, warum der Längswiderstand verschwindet: Es gibt keinen Mechanismus, der Impuls aus der Strömung herausnimmt. Und man versteht, warum Unordnung hilft: Die Verunreinigungen fangen die überzähligen Elektronen in lokalisierten Zuständen innerhalb der Energielücke ein. Diese lokalisierten Zustände tragen keinen Strom, halten aber die Fermi-Energie über einen weiten Magnetfeldbereich in der Lücke fest. Die Unordnung verbreitert also das Plateau, ohne seinen Wert anzutasten – sie ist der Puffer, der die Quantisierung über einen ganzen Feldbereich konserviert.

Topologie: Die TKNN-Zahl

Die Randkanalbildkarte erklärt die Robustheit qualitativ. Der tiefere Grund, warum der Zahlenwert exakt und nicht nur fast stimmt, wurde 1982 von David Thouless, Mahito Kohmoto, Peter Nightingale und Marcel den Nijs geliefert – in der Literatur als TKNN bekannt (Physical Review Letters 49 (1982), 405).

Ihr Resultat lautet, in Worten: Die Hall-Leitfähigkeit eines gefüllten Bandes ist nicht irgendein Integral über Materialdetails, sondern proportional zu einer ganzen Zahl, die eine globale, geometrische Eigenschaft der quantenmechanischen Wellenfunktionen im Impulsraum beschreibt. Diese Zahl heißt heute Chern-Zahl und ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie, nicht aus der Festkörperphysik.

Die Analogie, die mir am meisten hilft, ist die folgende. Wenn du einen Donut stetig verformst – drückst, dehnst, verbiegst –, bleibt er ein Objekt mit genau einem Loch. Die Zahl der Löcher ist eine topologische Invariante: Sie ändert sich nicht bei stetiger Deformation, sondern nur, wenn man das Objekt zerreißt oder zusammenklebt. Es gibt keinen „Donut mit 1,03 Löchern".

Genau das passiert im Quanten-Hall-Zustand. Verunreinigungen, Verspannungen, Temperaturänderungen und Probenform sind stetige Deformationen des Systems – solange die Energielücke nicht geschlossen wird. Sie können die Chern-Zahl nicht um einen kleinen Betrag verschieben, weil ganze Zahlen keine Nachbarschaft haben. Die Quantisierung ist also nicht ungenau und zufällig gut, sondern durch die Mathematik erzwungen. Der einzige Weg, das Plateau zu verlassen, ist, die Lücke zu schließen – und das ist genau der steile Übergang zwischen zwei Plateaus, ein echter Phasenübergang.

Hier liegt die eigentliche konzeptionelle Sprengkraft. Vor 1980 kannte die Physik der kondensierten Materie im Wesentlichen nur ein Ordnungsprinzip für Phasen: das von Landau, nach dem Phasen sich durch gebrochene Symmetrien und einen lokalen Ordnungsparameter unterscheiden (ein Magnet bricht die Rotationssymmetrie, ein Kristall die Translationssymmetrie). Der Quanten-Hall-Zustand bricht keine zusätzliche Symmetrie und hat keinen lokalen Ordnungsparameter. Er unterscheidet sich von einem gewöhnlichen Isolator nur durch eine globale ganze Zahl. Das war eine neue Art von Ordnung.

Teil 3: Die Einheit, die auf einem Chip liegt

Für die Metrologie war von Klitzings Entdeckung ein Geschenk, dessen Wert kaum zu überschätzen ist.

Bis dahin war das Ohm durch materielle Artefakte verkörpert – präzise gefertigte Drahtwiderstände, die in Tresoren lagerten, in regelmäßigen Abständen untereinander verglichen wurden und trotzdem driftete, weil Metall altert. Das ist die klassische Schwäche jeder Artefakt-Einheit: Man kann sie nicht nachbauen, nur kopieren, und Kopien gehen auseinander.

Der Quanten-Hall-Effekt ersetzte das Artefakt durch ein Naturgesetz. Wer über ein 2DEG, ein Helium-Kryostat und einen starken Magneten verfügt, kann das Ohm selbst herstellen, ohne jemals einen Referenzwiderstand aus einem anderen Labor gesehen zu haben. Ab 1990 benutzten die Metrologieinstitute einen festgelegten konventionellen Wert, \(R_{K\text{-}90} = 25\,812{,}807\ \Omega\). Mit der SI-Revision vom 20. Mai 2019, bei der \(h\) und \(e\) exakte Zahlenwerte zugewiesen bekamen, wurde \(R_K = h/e^2\) selbst zu einer exakt definierten Größe; die PTB gibt sie mit \(25\,812{,}807\,459\,304\,5\ldots\ \Omega\) an und erreicht in der Praxis relative Reproduzierbarkeiten im Bereich eines Teils in einer Milliarde.

Die praktische Hürde blieb lange der Aufwand: flüssiges Helium, Felder von 10 bis 20 Tesla, ein Hochfeldmagnet – nichts, was in ein normales Kalibrierlabor passt. Hier hat Graphen die Lage verändert. Weil die Landau-Lücke in Graphen bei gleichem Feld viel größer ist als in Galliumarsenid, lässt sich der Quanten-Hall-Zustand dort unter deutlich milderen Bedingungen stabil halten. He und Kollegen demonstrierten 2022 in Nature Communications ein Array aus 236 Hall-Elementen auf epitaktischem Graphen auf Siliziumkarbid, das \(R_K/236 \approx 109\ \Omega\) realisiert – bei etwa 2 Kelvin, 5 Tesla und Strömen von mehreren Milliampere, mit einer Übereinstimmung der beiden Teilarrays von 0,2 Teilen in einer Milliarde. Das ist der Weg zum quantengenauen Widerstandsnormal, das ohne Hochfeldlabor auskommt.

Mir erscheint das als der schönste praktische Ertrag der ganzen Geschichte: Eine Einheit, die früher ein Stück Metall in einem Safe war, ist heute eine Eigenschaft des Universums, die man in jedem hinreichend gut ausgestatteten Labor abrufen kann.

Teil 4: Der fraktionale Effekt – wenn die Elektronen ihre Identität verlieren

1982: Ein Drittel

Zwei Jahre nach von Klitzing untersuchten Daniel Tsui und Horst Störmer in den Bell Labs mit von Arthur Gossard gewachsenen, extrem sauberen Galliumarsenid-Heterostrukturen das Verhalten bei noch tieferen Temperaturen und noch stärkeren Feldern. Sie fanden ein Plateau an einer Stelle, an der nach der bisherigen Theorie keines sein durfte: bei Füllfaktor \(\nu = 1/3\) (Physical Review Letters 48 (1982), 1559).

Das war kein kleiner Zusatzbefund, sondern ein Theoriebruch. Die ganzzahlige Quantisierung erklärt sich aus vollständig gefüllten Landau-Niveaus unabhängiger Elektronen. Ein Drittel eines Niveaus kann nicht „voll" sein. Ein Plateau bei \(\nu = 1/3\) bedeutet, dass das System bei dieser Füllung eine Energielücke ausbildet – und eine Lücke bei nur teilweise gefülltem Niveau kann nicht von einzelnen Elektronen kommen. Sie muss aus deren Wechselwirkung entstehen.

Laughlin 1983 und die drittelzahlige Ladung

Robert Laughlin lieferte 1983 die Antwort in Form einer Wellenfunktion von bemerkenswerter Schlichtheit (Physical Review Letters 50 (1983), 1395). Er beschrieb den Zustand bei \(\nu = 1/3\) als eine neuartige, inkompressible Quantenflüssigkeit, in der die Elektronen sich maximal geschickt aus dem Weg gehen – eine korrelierte Flüssigkeit, kein Gas unabhängiger Teilchen und kein Kristall.

Die wirklich radikale Konsequenz betraf die Anregungen dieser Flüssigkeit. Laughlins Zustand besitzt Quasiteilchen mit der Ladung \(e/3\). Nicht, weil das Elektron zerbricht – das Elektron bleibt unteilbar –, sondern weil die kollektive Anregung des Vielteilchenzustands eine Ladung trägt, die ein Drittel der Elementarladung ist. Eine emergente Eigenschaft, die in keinem einzelnen Baustein steckt.

Diese drittelzahlige Ladung wurde 1997 unabhängig von zwei Gruppen direkt gemessen, indem man das Schrotrauschen des Stroms analysierte – das Rauschen verrät die Ladung der Pakete, die den Strom tragen. 1998 ging der Nobelpreis für Physik an Laughlin, Störmer und Tsui, „for their discovery of a new form of quantum fluid with fractionally charged excitations".

Eine besonders elegante Ordnung in das Wirrwarr der beobachteten Brüche (\(1/3\), \(2/5\), \(3/7\), \(2/3\), \(5/2\) und viele weitere) brachte das Bild der Composite Fermions: Man denkt sich jedes Elektron mit einer geraden Zahl magnetischer Flussquanten „bekleidet". Diese zusammengesetzten Objekte spüren ein stark reduziertes effektives Magnetfeld – und die fraktionalen Zustände der Elektronen erscheinen dann als ganzzahlige Zustände der Composite Fermions. Der komplizierte fraktionale Effekt wird zum einfachen ganzzahligen Effekt in einer anderen Beschreibung.

Anyonen: Weder Fermion noch Boson

Noch seltsamer als die Ladung ist die Statistik dieser Quasiteilchen. In drei Raumdimensionen gibt es nur zwei Sorten von Teilchen: Fermionen, deren Vielteilchen-Wellenfunktion beim Vertauschen zweier Teilchen ihr Vorzeichen wechselt, und Bosonen, bei denen sie unverändert bleibt. In zwei Dimensionen aber ist eine dritte Möglichkeit erlaubt: Die Wellenfunktion kann beim Vertauschen eine beliebige komplexe Phase aufsammeln. Solche Teilchen heißen Anyonen (von „any phase").

Die fraktionalen Quanten-Hall-Quasiteilchen sind Anyonen – bei \(\nu = 1/3\) mit einer Austauschphase von einem Drittel der Fermionenphase. Zwei Experimente aus dem Jahr 2020 haben das direkt nachgewiesen: Bartolomei und Kollegen beobachteten in Science die Spuren fraktionaler Statistik in Anyon-Kollisionen, und Nakamura, Liang, Gardner und Manfra zeigten in Nature Physics 16 (2020), 931, in einem Fabry-Pérot-Interferometer die direkte Beobachtung anyonischer Flechtstatistik: Führt man ein Anyon um ein anderes herum, so merkt sich die Wellenfunktion diesen Umlauf in einer messbaren Phase.

Der Grund, warum das weit über Kuriositätenwert hinausgeht, steckt in diesem Wort „merkt sich". Wenn der Zustand eines Systems davon abhängt, wie man Teilchen umeinander herumgeführt hat – und nicht davon, wo sie genau waren oder wie schnell –, dann ist diese Information gegen lokale Störungen immun. Ein zitterndes Anyon bleibt auf derselben Bahn-Topologie. Genau das ist die Grundidee des topologischen Quantencomputings.

Teil 5: Von einer Laborkuriosität zu einer Materialklasse

Bis Mitte der 1980er-Jahre war der Quanten-Hall-Effekt ein spektakuläres, aber eng umgrenztes Phänomen: zweidimensionale Elektronen, Millikelvin, Tesla. Die nächsten Jahrzehnte bestanden darin, zu erkennen, dass die Topologie das allgemeinere Prinzip ist und das Magnetfeld nur ein Weg, sie zu erzeugen.

Haldane 1988. Duncan Haldane konstruierte ein Gittermodell, das eine quantisierte Hall-Leitfähigkeit zeigt, obwohl das mittlere Magnetfeld verschwindet und es keine Landau-Niveaus gibt. Damit war bewiesen: Die Chern-Zahl ist eine Eigenschaft der Bandstruktur, keine Eigenschaft des Magnetfelds. Man braucht lediglich gebrochene Zeitumkehrsymmetrie – ein externes Feld ist eine Möglichkeit, intrinsischer Magnetismus eine andere.

Quanten-Spin-Hall-Effekt, 2005–2007. Charles Kane und Eugene Mele zeigten 2005, dass es auch ohne gebrochene Zeitumkehrsymmetrie eine topologische Klassifikation gibt – eine \(\mathbb{Z}_2\)-Invariante, die nur die Werte „trivial" und „nicht-trivial" kennt. Der zugehörige Zustand besitzt am Rand Paare gegenläufiger, spinpolarisierter Kanäle. Bernevig, Hughes und Zhang schlugen 2006 Quecksilbertellurid-Quantenwannen als konkretes Material vor; die Gruppe um Laurens Molenkamp bestätigte es 2007 experimentell. Der Name für diese Materialklasse – topologische Isolatoren – wurde zu einem der produktivsten Begriffe der Festkörperphysik der folgenden fünfzehn Jahre: Materialien, die im Inneren isolieren und an ihrer Oberfläche zwingend leiten, weil die Topologie des Inneren es erzwingt.

Quanten-anomaler Hall-Effekt, 2013. Die Gruppe um Cui-Zu Chang und Qi-Kun Xue beobachtete die quantisierte Hall-Leitfähigkeit erstmals ohne jedes äußere Magnetfeld, in dünnen Filmen aus magnetisch dotiertem \((\mathrm{Bi},\mathrm{Sb})_2\mathrm{Te}_3\) (Science 340 (2013), 167; DOI 10.1126/science.1234414). Haldanes theoretisches Modell von 1988 war damit Realität geworden.

Nobelpreis 2016. Die Königlich Schwedische Akademie verlieh den Physikpreis an David J. Thouless (1/2), F. Duncan M. Haldane (1/4) und J. Michael Kosterlitz (1/4) „for theoretical discoveries of topological phase transitions and topological phases of matter". Damit war die Topologie offiziell als eigenständiges Ordnungsprinzip der Materie anerkannt.

Teil 6: Die Gegenwart – Bruchteile ohne Magnetfeld, und ein offener Streit

Fraktionale Chern-Isolatoren, 2023/2024

Die logische Frage lag auf der Hand: Wenn es den ganzzahligen Effekt ohne Magnetfeld gibt (2013) und den fraktionalen Effekt mit Magnetfeld (1982) – gibt es dann auch den fraktionalen Effekt ohne Magnetfeld? Theoretisch heißt ein solcher Zustand fraktionaler Chern-Isolator, und man suchte ihn über ein Jahrzehnt.

2023 wurde er gefunden. Cai, Anderson und Kollegen berichteten in Nature 622 (2023), 63–68, über Signaturen fraktionaler quanten-anomaler Hall-Zustände in verdrilltem Molybdänditellurid (\(\mathrm{MoTe}_2\)): In einer um etwa 3,8° gegeneinander verdrehten Doppellage entsteht ein Moiré-Übergitter, in dem bei Füllungen von \(\nu = -2/3\) und \(\nu = -3/5\) ferromagnetische, fraktional quantisierte Zustände auftreten – bei rund 1,6 Kelvin.

Kurz darauf zeigten Lu, Han und Kollegen in Nature 626 (2024), 759–764, dasselbe Phänomen in rhomboedrischem Fünflagen-Graphen auf hexagonalem Bornitrid, und zwar mit einer ganzen Serie von Plateaus (\(\nu = 1\), \(2/3\), \(3/5\), \(4/7\), \(4/9\), \(3/7\), \(2/5\)) bei exakt verschwindendem Magnetfeld und Temperaturen bis etwa 400 Millikelvin. Dass dieselbe Physik in zwei völlig verschiedenen Materialsystemen auftritt, ist das starke Argument dafür, dass hier kein Artefakt vorliegt, sondern ein robustes Phänomen.

Der Reiz ist nicht nur akademisch. Ein fraktionaler Zustand ohne Magnetfeld wäre eine viel praktikablere Plattform für anyonische Qubits als ein Hochfeldmagnet – und bei geeigneten Füllungen (klassisch diskutiert bei \(\nu = 5/2\)) erwartet die Theorie nicht-abelsche Anyonen, bei denen die Reihenfolge der Flechtoperationen das Ergebnis verändert. Solche Anyonen wären direkt als Quantengatter nutzbar.

Der offene Streit: Microsofts topologisches Qubit

Hier gebietet die Ehrlichkeit einen Blick auf den unübersichtlichsten Teil des Feldes. Die am meisten beworbene Anwendung der topologischen Idee ist das topologische Qubit auf Basis von Majorana-Zuständen in Halbleiter-Supraleiter-Nanodrähten, an dem Microsoft seit über einem Jahrzehnt arbeitet.

Im Februar 2025 veröffentlichte Microsoft Azure Quantum in Nature 638 (2025), 651–655, eine Arbeit zur interferometrischen Einzelschuss-Paritätsmessung in InAs-Al-Hybridbauelementen und kommunizierte parallel den Chip „Majorana 1". Die Kritik folgte zügig und ist inzwischen formell publiziert: Henry Legg (University of St Andrews) argumentiert in einem Matters Arising-Beitrag in Nature vom 24. Juni 2026, dass das von Microsoft verwendete „topological gap protocol" je nach Parameterwahl widersprüchliche Klassifikationen liefert und dass die aus dem öffentlichen Datenrepositorium zugänglichen Leitfähigkeitsdaten in den relevanten Bereichen keine klare Energielücke, sondern Unordnung und Quantenpunktverhalten zeigen. Microsoft hat in derselben Ausgabe eine begutachtete Erwiderung veröffentlicht, in der das Protokoll als bloßes Abstimmwerkzeug eingeordnet und die eigentliche Evidenz in den Hochfrequenz-Kapazitätsmessungen gesehen wird.

Es gibt keine Rücknahme und keine formale Korrektur. Der Streit ist in der begutachteten Literatur offen und unentschieden. Ich bin der Meinung, dass dies ein lehrreicher Kontrast ist: Der ganzzahlige Quanten-Hall-Effekt wurde innerhalb weniger Jahre von mehreren Laboren unabhängig bis auf Milliardstel reproduziert – deshalb trägt heute eine SI-Einheit darauf. Beim topologischen Qubit fehlt genau diese unabhängige, reproduzierte Signatur bislang. Die Topologie als Ordnungsprinzip ist gesichert; ihre Nutzung als Quantencomputer-Hardware ist es nicht.

Frameworks zum Mitnehmen: Die zentralen Begriffe

Die Erkenntnis zum Mitnehmen

Die übertragbare Lehre des Quanten-Hall-Effekts ist eine Lehre über die richtige Art von Robustheit.

Wir sind gewohnt, Zuverlässigkeit durch Präzision in den Details zu suchen: engere Toleranzen, reinere Materialien, bessere Kalibrierung, mehr Nachkommastellen. Der Quanten-Hall-Effekt zeigt einen anderen Weg. Seine Genauigkeit entsteht nicht daraus, dass irgendetwas besonders gut gefertigt wäre – sie entsteht daraus, dass die messbare Größe nur diskrete Werte annehmen kann. Eine ganze Zahl kann nicht driften. Wo ein stetiger Parameter um ein Promille abweichen darf, kann eine ganze Zahl nur ganz oder gar nicht springen; und solange die Lücke besteht, kann sie nicht springen.

Dieses Prinzip ist in der Informatik unmittelbar vertraut, auch wenn man es selten so nennt. Ein digitales Signal ist genau deshalb robuster als ein analoges, weil es nur zwei erlaubte Zustände gibt und ein kleines Rauschen keinen davon erreicht – die „Lücke" zwischen 0 und 1 übernimmt die Rolle der Energielücke. Ein Hash ist entweder gleich oder ungleich. Ein Konsens ist entweder erreicht oder nicht. In jedem dieser Fälle kaufen wir Robustheit, indem wir das Kontinuum verlassen.

Der praktische Handlungsanstoß: Wenn du das nächste Mal ein System entwirfst, dessen Zuverlässigkeit dich beunruhigt, frage nicht zuerst „Wie verengen wir die Toleranzen?", sondern „Lässt sich die kritische Größe so umformulieren, dass sie nur diskrete Werte annehmen kann – und gibt es eine ausreichend große Lücke zwischen diesen Werten?" Eine Zustandsmaschine mit fünf benannten Zuständen ist aus demselben Grund robuster als ein Fortschrittsprozentwert, aus dem ein Quanten-Hall-Plateau exakt ist. Diskretisierung ist keine Vereinfachung, sondern eine Robustheitsstrategie.

Querverweise im Vault

Dieses Thema steht in engem Zusammenhang mit mehreren bereits behandelten Artikeln. Die Supraleitung, die wie der Quanten-Hall-Effekt ein makroskopisches Quantenphänomen mit einer Energielücke als Ursache der Widerstandsfreiheit ist – und deren Typ-II-Vortices ebenfalls topologische Objekte sind –, wird in Widerstand zwecklos: Supraleitung von Onnes über BCS zum Raumtemperatur-Traum behandelt. Die Idee, Quanteninformation nicht lokal zu speichern, sondern so zu verstecken, dass lokale Störungen ihr nichts anhaben können, ist der rote Faden von Ordnung aus dem Rauschen: Quantenfehlerkorrektur und der Weg zum fehlertoleranten Quantencomputer; der Surface Code dort ist seinerseits ein topologischer Code. Dass Quantenzustände überhaupt nichtlokale Korrelationen tragen können, auf denen anyonische Flechtstatistik beruht, zeigen Spukhafte Fernwirkung: Quantenverschränkung von Einstein zum Quanteninternet und Die Wette gegen die Wirklichkeit: Bells Theorem und das Ende des lokalen Realismus. Warum wir diese Zustände nur bei Millikelvin sehen und die Alltagswelt klassisch erscheint, klärt Warum die Welt klassisch wird: Dekohärenz, Einselection und Quantum Darwinism. Das Tunneln zwischen Randkanälen, das die Plateaus letztlich begrenzt, ist Thema von Der Sprung durch die Wand: Quantentunneln von Gamows Alphazerfall bis zum Attosekunden-Rätsel. Und wie schwer der Weg von einem Artefakt-Normal zu einer naturgesetzlich definierten Einheit ist, lässt sich an der Geschichte der Navigation nachlesen: Die Uhr, die den Ozean vermaß: John Harrison, das Längengradproblem und wie ein Zimmermann die Navigation rettete.

Zum Nachdenken

Der Quanten-Hall-Effekt ist exakt, weil seine Messgröße nur ganzzahlige Werte annehmen kann – und weil eine Energielücke dafür sorgt, dass kleine Störungen nicht ausreichen, um von einem Wert zum nächsten zu springen. Wo in deiner eigenen Arbeit misst du eine kontinuierliche Größe, obwohl es eigentlich auf eine diskrete Unterscheidung ankommt? Und wie groß müsste die „Lücke" zwischen den erlaubten Zuständen sein, damit du dich auf diese Unterscheidung so verlassen könntest wie ein Metrologe auf \(h/e^2\)?

Quellen

• K. v. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, „New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance", Physical Review Letters 45 (1980), 494–497: https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.45.494
• Nobelpreis für Physik 1985 (Klaus von Klitzing), offizielle Begründung: https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1985/klitzing/facts/
• Nobelpreis für Physik 1998 (Laughlin, Störmer, Tsui), „for their discovery of a new form of quantum fluid with fractionally charged excitations": https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1998/summary/
• Nobelpreis für Physik 2016 (Thouless, Haldane, Kosterlitz), „for theoretical discoveries of topological phase transitions and topological phases of matter": https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2016/summary/
• Physikalisch-Technische Bundesanstalt, „Quantum Hall Effect and Quantum Hall Resistance Standards" (exakter Wert von \(R_K\), Bedingungen, Unsicherheiten): https://www.ptb.de/cms/en/ptb/fachabteilungen/abt2/abt2-qhe.html
• H. He et al., „Accurate graphene quantum Hall arrays for the new International System of Units", Nature Communications 13 (2022), DOI 10.1038/s41467-022-34680-0: https://www.nature.com/articles/s41467-022-34680-0
• C.-Z. Chang et al., „Experimental Observation of the Quantum Anomalous Hall Effect in a Magnetic Topological Insulator", Science 340 (2013), 167–170: https://www.science.org/doi/10.1126/science.1234414
• H. Bartolomei et al., „Fractional statistics in anyon collisions", Science 368 (2020), 173–177; J. Nakamura, S. Liang, G. C. Gardner, M. J. Manfra, „Direct observation of anyonic braiding statistics", Nature Physics 16 (2020), 931–936: https://www.nature.com/articles/s41567-020-1019-1
• J. Cai, E. Anderson et al., „Signatures of fractional quantum anomalous Hall states in twisted MoTe2", Nature 622 (2023), 63–68: https://www.nature.com/articles/s41586-023-06289-w
• Z. Lu, T. Han et al., „Fractional quantum anomalous Hall effect in multilayer graphene", Nature 626 (2024), 759–764: https://www.nature.com/articles/s41586-023-07010-7
• H. Legg, „Comment on ‚Interferometric single-shot parity measurement in InAs–Al hybrid devices'" (arXiv:2503.08944), publiziert als Matters Arising in Nature am 24. Juni 2026, mit begutachteter Erwiderung von Microsoft Azure Quantum: https://arxiv.org/abs/2503.08944
• Übersicht zum Quanten-Hall-Effekt (Wikipedia, mit Primärquellenangaben zu TKNN 1982, Tsui/Störmer/Gossard 1982 und Laughlin 1983): https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_Hall_effect

← All articles